(ぴｰしんすう)
pを一つの素数とする｡riを0≦ri【図】
をp進数という｡aを正の整数とすると､aは
a=r[▼0]+r[▼1]p+……+r[▼m]p[▲m]
(0≦r[▼i]と表されるので､p進数の特別の場合とみることができる｡たとえば､p=7のとき､
121=2+17･7=2+(3+2･7)･7
=2+3･7+2･7[▲2]
負の整数を有限和で表すことはできない｡しかし､無限級数の形に表そうとするなら､それは可能である｡たとえば､
-3=4+(-1)･7
=4+6･7+(-1)･7[▲2]
=4+6･7+6･7[▲2]+6･7[▲3]+……
分母bがpで割り切れない分数1/bも､無限級数の形にすることができる｡たとえば､
1=4･2+(-1)･7=4･2+4･5･7+(-3)･7[▲2]
=4{2+5･7+1･7[▲2]+(-1)･7[▲3]}=……
となるから､
1/4=2+5･7+1･7[▲2]+……
これは右辺をr[▼0]+r[▼1]p+r[▼2]p[▲2]+……と置き､順にr[▼0]､r[▼1]､……を定めてもよい｡
一般に有理数は
a=p[▲s](r[▼0]+r[▼1]p+r[▼2]p[▲2]+……)
と無限級数で表される｡この右辺の形の無限級数をp進数というのである｡有理数はp進数であるが､p進数は有理数を表すとは限らない｡p進数の全体は可換体をつくり､これをp進体という｡整数論の研究のために考え出されたものである｡ <寺田文行>